Os Números e a história da humanidade

Os Números e a história da humanidade, você sabia que a noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. Pois é a própria vida está impregnada de Matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da Matemática.

A linguagem dos números

As linguagens dos números estão em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.

O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.

Quem nunca usou os dedos para contar e fazer contas? A maioria dos professores não gosta e sempre pede para que a gente faça todos os cálculos de cabeça. Mas usar os dedos bem que ajuda, não é? Pelo menos ajudava no início, quando você estava aprendendo a calcular e começando a compreender o que eram aqueles símbolos meio complicados, os números.

E hoje, você já sabe calcular? Já conhece todos os números? Mesmo que você ainda não seja fera em matemática, certamente você está familiarizado com estes símbolos. Isso porque eles estão por todos os lados: na chamada da escola o seu nome corresponde a um número; no seu telefone alguns deles se combinam; no supermercado o seu biscoito favorito custa uma quantia que é expressa em números. E quando perguntam quantos anos você tem, como você responde? Usando um número!

Como muitas outras coisas que fazem parte da nossa vida, os números parecem óbvios. Dá impressão até que eles sempre existiram! Ou então que foram simplesmente inventados ou descobertos no passado assim, de uma hora para outra. Mas a verdade é que o que hoje nos parece tão comum é resultado de um longo processo. Até chegar aos algarismos que hoje tanto usamos foram muitos anos, muitos homens, muitos povos, muita história. Ah, e também muitos e muitos dedos…

Cavernas, ossos e pedras

Curiosos sobre a origem dos números, alguns estudiosos pesquisaram e acabaram percebendo que não os números, mas a necessidade de contar já existia há cerca de 30.000 anos atrás. Nesta época, para se alimentar, os homens caçavam e coletavam raízes e folhas. Normalmente viviam em grutas buscando se proteger de animais ferozes e do frio.

Em algumas dessas grutas, como a de Lascaux, na França, foram encontrados desenhos de homens desse período.  São imagens de animais e outros sinais como pontinhos e riscos. Desde que a gruta foi redescoberta, estes sinais estão sendo investigados. Talvez eles indiquem que os homens primitivos já contavam usando marcas. Mas não somente desenhando nas paredes de grutas: também faziam riscos em ossos de animais ou pedaços de madeira.

E para que esses riscos? Com base em desenhos de astros celestes como o sol, a lua e as estrelas feitos na mesma época, alguns especialistas afirmam que eles serviam para contar o tempo, permitindo que os homens realizassem os seus rituais religiosos no período certo.

Cavernas, ossos e pedras

Curiosos sobre a origem dos números, alguns estudiosos pesquisaram e acabaram percebendo que não os números, mas a necessidade de contar já existia há cerca de 30.000 anos atrás. Nesta época, para se alimentar, os homens caçavam e coletavam raízes e folhas. Normalmente viviam em grutas buscando se proteger de animais ferozes e do frio.

Em algumas dessas grutas, como a de Lascaux, na França, foram encontrados desenhos de homens desse período.  São imagens de animais e outros sinais como pontinhos e riscos. Desde que a gruta foi redescoberta, estes sinais estão sendo investigados. Talvez eles indiquem que os homens primitivos já contavam usando marcas. Mas não somente desenhando nas paredes de grutas: também faziam riscos em ossos de animais ou pedaços de madeira.

E para que esses riscos? Com base em desenhos de astros celestes como o sol, a lua e as estrelas feitos na mesma época, alguns especialistas afirmam que eles serviam para contar o tempo, permitindo que os homens realizassem os seus rituais religiosos no período certo.

Saindo das cavernas

Há cerca de 10.000 anos, os homens desenvolveram melhores técnicas de obtenção de alimentos. Continuavam a caçar, mas passaram a cultivar plantas e criar animais. Além disso, começaram a se reunir em grupos maiores, formando aldeias.

Todas essas mudanças fizeram surgir novas necessidades. Entre elas a necessidade de contar os animais que criavam. A contagem do tempo continuava sendo importante, pois, se quisessem garantir a colheita, eles tinham que saber as estações do ano para prever as épocas de chuva, de frio ou de calor. E, além de tudo isso, era fundamental saber quando deveriam adorar seus deuses e fazer cerimônias religiosas. E como contar os bichos ou o tempo? Se você fosse um desses homens da antiguidade, como faria para contar?

Tudo bem, tudo bem, vamos dar uma pista… Um punhado de pedrinhas era, por exemplo, instrumento útil a um pastor: estabelecendo que cada pedrinha correspondia a uma ovelha de seu rebanho, ele podia mover as pedras, colocando em um saco de acordo com a saída de ovelhas para o pasto. Para cada ovelha que ia para o pasto ele colocava uma pedra do saco. Depois, na hora da volta dos animais, ia tirando uma pedrinha para cada ovelha que recolhia.

E se sobrassem pedrinhas no saco? Coitado do pastor, isso com certeza não era um bom sinal! Indicava que algumas de suas ovelhas tinham ido passear mais longe do que deviam… Além de pedras também eram usadas sementes, folhas secas, gravetos e, é claro, os historicamente famosos dedos das mãos. O truque de contar usando os dedos das mãos não é novo. Se levarmos em conta as centenas de mãos pintadas na chamada Caverna das Mãos na Argentina, podemos perceber o quanto elas eram importantes para povos primitivos.

E a utilidade não estava só nos dedos das mãos: os dos pés muitas vezes também eram utilizados para contar. Isso fez com que muitos desses povos antigos começassem a agrupar quantidades de dez em dez, que é a soma dos dedos das mãos ou dos dedos dos pés. Outros agrupavam em vinte, a soma de todos os dedos.

Sinais em tabletes de argila

É, os dedos ajudavam bastante nos cálculos. Mas chegou um tempo em que sementes, pedras, gravetos e os próprios dedos não eram suficientes para contar. As quantidades tinham aumentado: de plantas, de animais, de pessoas, de terras. Vieram as guerras, os impostos e a necessidade de administrar o que circulava pelos reinos e aldeias era cada vez maior.

Foi por isso que os sumérios, habitantes da Mesopotâmia, inventaram a escrita, buscando também outras formas de contar. Eram um povo muito dedicado ao comércio e, por isso, precisavam registrar trocas e outras transações financeiras. Essa capacidade que tiveram de desenvolver a linguagem escrita permitiu que elaborassem símbolos para indicar quantidades.

O sistema numérico na Mesopotâmia pôde ser desvendado com a descoberta de muitas placas de barro em escavações arqueológicas na região. Os sumérios faziam registros e contas nesses tabletes de argila. Estudos sobre elas demonstraram que eles desenvolveram tabuadas e um sistema com base sessenta: todos as quantidades maiores que sessenta eram agrupadas e representadas a partir do sinal que representava sessenta ou quantidades menores. Este povo também foi pioneiro na representação posicional dos números: a posição dos símbolos interferia no valor que eles representavam.

Contando com egípcios e maias

Mais ou menos na mesma época que os sumérios, no nordeste da África um outro povo criava um outro sistema de numeração. Você já ouviu falar das pirâmides do Egito? Pois é, eles eram craques mesmo em arquitetura! E para construir, precisavam calcular. E para calcular, precisavam de números.

O sistema de numeração egípcio tinha sete números-chave, que hoje reconhecemos como os seguintes: 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000 e 1.000.000. Eles estabeleceram símbolos para cada um deles e, com estes desenhos, escreviam os outros números e faziam contas.

Acima dissemos que o sistema mesopotâmico usava agrupamentos de 60. Agora, faça um exercício: olhando os números-chave egípcios, você arrisca dizer qual era o agrupamento usado por este povo?

Séculos depois dos egípcios registrarem contas em papiros, um outro povo também utilizaria desenhos para fazer contas do outro lado do oceano Atlântico. Mas no caso deste povo americano, os maias, eram utilizados apenas três símbolos na escrita de todos os números: uma concha, um ponto e uma barrinha.

Como o egípcio, o sistema numérico maia utilizava figuras para representar números. Pensando nos números das duas civilizações você pode até pensar: como são parecidos, os dois com desenhos! Mas vamos com calma. A forma deles escreverem podia até ser semelhante, no entanto o sistema maia era diferente do egípcio em dois aspectos: o uso da base vinte e de um símbolo para o zero.

O zero é uma grande invenção para os sistemas numéricos. Ele será o responsável pelo sucesso do sistema que utilizamos hoje, pois ajuda na representação posicional e na construção do princípio multiplicativo para os números.

Princípio multiplicativo… mas o que seria isso? É o seguinte: observe o número 605. Nele cada algarismo representa na verdade o produto dele de acordo com sua posição: o 6 é igual a 6 X 100 (centena), o 0 é igual a 0 x 10 (dezena) e o 5 é igual a 5 x 1 (unidade). Entendeu? Então guarde a noção de princípio posicional, pois ela será importante para entender nossa forma atual de numerar.

Números gregos, hebraicos e romanos

Você já deve ter ouvido falar a respeito dos gregos. Eles foram muito importantes para toda a história do Ocidente. Desenvolveram as artes, a política e a medicina. São considerados os pais da filosofia e da democracia. E, junto com tudo isso, também criaram um sistema numérico.

Os gregos usavam letras de seu alfabeto para representar números. Não sei se já aconteceu com você, mas talvez um dia você se depare com um exercício envolvendo os seguintes símbolos: α, β e γ. Parecem apenas três letrinhas, não é? Mas são números (1, 2 e 3) que já eram utilizados por matemáticos gregos.

Os habitantes da antiga Grécia não eram os únicos a representar números com letras. Também os hebreustinham um alfabeto numérico. Isto porque, na verdade, os dois sistemas de numeração escritos copiaram alguns aspectos da escrita dos fenícios, povo que entre 1.000 e 500 anos antes de Cristo dominava regiões no norte da África e no sul da Europa. A forma fenícia de escrever é a mãe das formas grega, hebraica, latina e árabe de escrever.

Naquele mundo antigo de gregos e hebreus, um outro povo começava a se destacar. Os romanos estavam desenvolvendo seus exércitos e táticas de guerra. E, como resultado disso, estavam ganhando cada vez mais territórios, lutando e conquistando outros povos. Foi assim que acabaram chegando até os gregos, guerreando com eles e conquistando muitas de suas terras.

A civilização grega entrou em crise, foi aos poucos desaparecendo e cedendo lugar ao Império Romano. No auge desse Império, os romanos chegaram a ocupar os territórios que hoje são de Portugal, Espanha, França, Itália e parte da Inglaterra. Com certeza eles tinham muita coisa para registrar em números. E, por isso, criaram uma forma de representar os números, uma forma que até hoje aprendemos nas aulas de matemática.

O sistema de numeração romano, assim como os dos gregos e dos hebreus, usava letras do alfabeto para representar quantidades. Mas no caso dos romanos eram apenas sete letras: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) e M (1000). Era um sistema ordenado, já que a ordem dos símbolos importava: VI (seis) era diferente de IV (quatro).

Você já viu algum desses números romanos por aí? Não? Experimente olhar em alguns relógios, na fachada de alguns prédios antigos ou em capítulos de livros. Geralmente nesses espaços ainda é possível vê-los.

Números orientais

A fama de gregos e romanos é tão grande que, às vezes, parece que só eles habitavam o mundo antigo. Entretanto, na mesma época, outras grandes civilizações também se desenvolveram no Oriente: a chinesa e a indiana. E as duas também desenvolveram formas de representar quantidades.

Na China, o sistema numérico era decimal e os números eram representados por símbolos próprios da escrita chinesa. Este sistema começou a ser desvendado com a descoberta de escritos chineses em cascos e ossos de tartaruga datados de mais de três mil anos atrás! O povo, que hoje é reconhecido por comer utilizando pauzinhos, começou a escrever desenhando pauzinhos. Veja na figura ao lado um pedaço de casco de tartaruga encontrado por arqueólogos.

No sistema numérico indiano está a origem do sistema que adotamos hoje. A região foi berço de vários sistemas de numeração. Por volta do século VI d.C, o povo hindu desenvolveu um sistema que apresentava o zero. No início, ele era representado pelo desenho de um ovo de ganso.

Com a introdução do zero, a numeração indiana precisava apenas de dez símbolos para representar todas as quantidades. Era um sistema posicional e multiplicativo. Esta facilidade deixou muitos sábios e matemáticos de outras partes maravilhados. Algum tempo depois, chegou à Europa. E de lá se espalharia por todo mundo.

O sistema indo-arábico

Pense em todos os números que você já escreveu, pensou ou leu. Todos eram representados usando os símbolos hindus (que hoje você conhece como 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), certo? Em cada número eles aparecem em uma posição específica, que diz se eles valem unidades, dezenas e centenas. Por exemplo: no número 123 sabemos que o 1 vale 100 (1 x 100), que o 2 vale 20 (2 x 10) e que o 3 vale 3 (3 x 1).

Além de diminuir a quantidade de símbolos, o que já facilita, o sistema indiano permitiu calcular mais rápido. Foi isso que encantou Al-khowarizmi, um árabe que se dedicou ao estudo da matemática hindu. Para espalhar a novidade, ele escreveu um livro com detalhes deste sistema de numeração.

O corvo assassinado

Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.

As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não – para ajudar seu sentido do número – artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.

Limitações vêm de longe

Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente disprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro.

Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens europeias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: “três vezes” e “muito”. Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito).

Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.

Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.

O número sem contagem

Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma ideia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.

Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.

A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de ideias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra “cálculo“, da palavra latina calculus, que significa pedra.

A ideia de correspondência

A correspondência biunívoca resume-se numa operação de “fazer corresponder”. Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3…

A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4…

A criação de um símbolo para representar o “nada” constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor – fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.

Do relativo ao absoluto

Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.

Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.

Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.

É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita.

Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.

Palavras que representam números em algumas línguas indo-europeias:

Grego arcaico

Latim

Alemão

Inglês

Francês

Russo

1

en unus eins one un odyn

2

duo duo zwei two deux dva

3

tri tres drei three trois tri

4

tetra quatuor vier four quatre chetyre

5

pente quinque fünf five cinq piat

6

hex sex sechs six six chest

7

hepta septem sieben seven sept sem

8

octo octo acht eight huit vosem

9

ennea novem neun nine neuf deviat

10

deca decem zehn ten dix desiat

100

hecaton centum hundert hundred cent sto

1000

xilia mille tausend thousand mille tysiatsa

Na China, o sistema numérico era decimal e os números eram representados por símbolos próprios da escrita chinesa. A região foi berço de vários sistemas de numeração. Por volta do século VI d.C, o povo hindu desenvolveu um sistema que apresentava o zero

Como o sistema foi criado pelos hindus e divulgado pelos árabes, ficou conhecido como indo-arábico. Pronto, finalmente chegamos ao sistema que hoje utilizamos. Como você pôde ler, até chegar à numeração hoje aceita foram milhares de anos. O homem já contou de diversas formas, a partir de diferentes necessidades.

Ah, e como você pôde ver também algumas coisas nunca mudam… como fazer contas com os dedos! Bom, mas pelo menos agora você já tem uma boa justificativa histórica para dar aos seus professores!

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É Professor, Matemático, Pedagogo, Psicopedagogo, Contador, Bacharel em Direito e Escritor. Pesquisador sobre Engenharia Didática em Educação Matemática; Modelagem; Construção do Conhecimento em Matemática; Modelos Matemáticos e suas Aplicações na vida real. Criou o método X Y e Z que facilita na aprendizagem de equação e expressão algébrica com objetos ilustrativos. Docente nos cursos de Matemática, Ciências Contábeis, Administração e Engenharia. Autor de mais de 10 (dez) livros e têm vários artigos publicados em revistas e jornais especializados. Semanalmente escreve para o portal D.Dez, Jornal da Cidade e Folha Online. Sobre: Educação Matemática e Desenvolvimento da Aprendizagem. Site: www.valdivinosousa.mat.br E-mail: valdivinosousa.mat@gmail.com Telefone Celular / Whatsap: 11 - 9.9608-3728

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